ラグランジュ方程式

ラグランジュ方程式

【ラグランジュ方程式】
直行座標系から極座標系などに変換する際、ニュートンの運動方程式では座標変換によって大きく形を変えてしまい扱いにくいが、ラグランジュ方程式ならばそのような心配はない。常に同じ形の方程式をどのような座標系においても使えるのである。

簡単のため、１次元の場合で考える。質点の運動エネルギーTは、

である。また、この質点に働く力Fは、この系の位置に依存するポテンシャルエネルギーをUとすると、

と表す事ができる。ここで、運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーUとの差として定義されるラグランジアンLを定義する。（運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーUとの和はハミルトニアンであるので注意が必要である。）

ラグランジアンは速度と位置の関数であるので、

という関係があることは自明である。ニュートンの運動方程式、

より、

という関係を導く事ができる。この方程式のことをラグランジュ方程式と呼ぶ。